まずご質問での鉛なのか鉄錆なのかで、原因が異なってきます。

古い水道管だと鉛を使っていることがありますが、鉛の屑がでるのはおかしいです。

鉄錆だと水道管からということも考えられます。

エコキュートだけではなく、ほかの蛇口からの水はどうなのでしょうか。

水道本管が原因であれば、ほかの蛇口も同様にそのような錆がでてくるはずです。

別の原因としては、エコキュートの取り付け工事が雑だと新設した初期にこのような現象が起きることがあります。

さらに水道ではなく井戸水をエコキュートに使っているとすると、井戸からの配管に問題があるでしょう。

いずれにしても、すぐに結論を出さないで、まずは水道局に知らせて、給水管の腐食具合などを調べてもらうことをおすすめします。

すべてはその結果次第で、次の対策と言うことになります。

それがエコキュートの配管工事での半田付けが原因だと判明すれば、明らかに施工ミスで業者は無償で修理・改善をすべきです。

それを頭から高額な工事というようなことは業者を疑いたくもなります。

また、メーカーの責任でもないと言えます。

以上のような手順を踏んで、きちんと責任の所在を明らかにすることが必要で、さらに別の信頼できる業者に相談をすると良いのではないでしょうか。